题目内容
已知函数f(x)=x-alnx(a∈R)
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性与极值;
(3)当a=2时,求函数f(x)在[1,3]上的最值.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论函数f(x)的单调性与极值;
(3)当a=2时,求函数f(x)在[1,3]上的最值.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题:导数的综合应用
分析:(1)先求导,根据导数的几何意义得到k=f'(1),故可求出切线方程;
(2)根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出,
(3)由(2)值知道函数的单调区间,函数的极小值就是最小值,再根据端点值得到函数的最大值.
(2)根据导数和函数的单调性和极值的关系即可求出,
(3)由(2)值知道函数的单调区间,函数的极小值就是最小值,再根据端点值得到函数的最大值.
解答:
解:(1)a=2时,f(x)=x-2lnx,
∴f′(x)=1-
,
∴k=f'(1)=-1,
又f(1)=1,
故切线方程为:y-1=-1(x-1)
即y=-x+2.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=1-
=
①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
f极小=f(a)=a-alna,无极大值.
(3)因为当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
所以函数在[1,2]上递减,在(2,3]上递增.
最小值为f(2)=2-2ln2
因为f(1)=1,f(3)=3-2ln3.
f(1)>f(3).
所以最大值为1.
∴f′(x)=1-
2 |
x |
∴k=f'(1)=-1,
又f(1)=1,
故切线方程为:y-1=-1(x-1)
即y=-x+2.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∴f′(x)=1-
a |
x |
x-a |
x |
①当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
②当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
f极小=f(a)=a-alna,无极大值.
(3)因为当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
所以函数在[1,2]上递减,在(2,3]上递增.
最小值为f(2)=2-2ln2
因为f(1)=1,f(3)=3-2ln3.
f(1)>f(3).
所以最大值为1.
点评:本题考查了导数的几何意义,即切线方程的求法,以及导数和函数的单调性极值最值的关系,属于中档题
练习册系列答案
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若数列{an}的通项公式为an=
,其前n项和为
,则n为( )
1 |
n2+3n+2 |
7 |
18 |
A、5 | B、6 | C、7 | D、8 |
已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的图象如图所示,则ω等于( )
A、
| ||
B、
| ||
C、1 | ||
D、2 |