Question

6．已知数列{a_n}满足a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）将n换为n-1，相减可得a_n=$\frac{1}{n}$，检验n=1也成立；
（2）由$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=n，
a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=n-1，（n＞1）
两式相减得${a_n}=\frac{1}{n}（n≥2）$，
又a₁=1，∴${a_n}=\frac{1}{n}（n∈{N^*}）$．
（2）证明：b_n=a_na_n+2（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{1•3}$+$\frac{1}{2•4}$+…+$\frac{1}{n（n+2）}$，
则${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用下标变换法，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和和不等式的性质，属于中档题．