题目内容
【题目】已知点是抛物线
的焦点,若点
在抛物线
上,且
求抛物线
的方程;
动直线
与抛物线
相交于
两点,问:在
轴上是否存在定点
其中
,使得向量
与向量
共线
其中
为坐标原点
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得
的坐标,代入抛物线方程,解得
,进而得到抛物线的方程;
在
轴上假设存在定点
其中
,使得
与向量
共线,可得
轴平分
,设
,
,联立
和
,根据
恒成立,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简整理可得
的方程,求得
,可得结论.
抛物线C:
的焦点为
,
准线方程为,
即有,即
,
则,解得
,
则抛物线的方程为;
在x轴上假设存在定点
其中
,
使得与向量
共线,
由,
均为单位向量,且它们的和向量与
共线,
可得x轴平分,
设,
,
联立和
,
得,
恒成立.
,
设直线DA、DB的斜率分别为,
,
则由得,
,
,
联立,得
,
故存在满足题意,
综上,在x轴上存在一点,使得x轴平分
,
即与向量
共线.
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