Question

2．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x+a
（1）写出f（x）最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]时，函数f（x）的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}+a$，由周期公式可求f（x）最小正周期，由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间．
（2）由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，求得sin（2x-$\frac{π}{6}$）_max=1，由f（x）_max=1$+\frac{1}{2}+a$=2，即可解得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x+a
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$+a
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}+a$，
∴f（x）最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴由2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得单调递减区间为：[kπ$+\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]，函数f（x）的最大值为2，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）_max=1，即有：f（x）_max=1$+\frac{1}{2}+a$=2．
∴可解得：a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期性，单调性，有界性，属于基本知识的考查．