Question

（08年平遥中学） (12分) 已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：∠APB=2θ,且|PA||PB|sin²θ=2

（1）求动点P的轨迹Q的方程；

（2）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N。试问x轴上是否存在定点C，使?为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解析：（Ⅰ）依题意，由余弦定理得：, …2分

即即

　　

.

,即.　　…………4分

（当动点与两定点共线时也符合上述结论）

动点的轨迹为以为焦点,实轴长为的双曲线．

所以，轨迹的方程为.     …………6分

(Ⅱ)假设存在定点,使为常数．

（1）当直线 不与轴垂直时，

设直线的方程为,代入整理得:

．             …………7分

由题意知，．

设,,则,．…………8分

于是，   …………9分

．                …………10分

要使是与无关的常数，当且仅当，此时． …11分

（2）当直线 与轴垂直时，可得点,，

当时，．   

故在轴上存在定点,使为常数.     …………12分