Question

【题目】某地政府在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156天，一年按364天计．
（1）请把频率直方图补充完整；
（2）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才能够运行一台发电机，如60≤X＜90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据．问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？

Answer 1

【答案】
（1）解：在区间[30，60）的频率为 ，

= = ，

设在区间[0，30）上， =a，

则（a+ ）×30=1，

解得a= ，

补充频率分布直方图如右图所示．

（2）解：记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为 ，

恰好运行一台发电机的概率为 ，恰好运行二台发电机的概率为 ，

恰好运行三台发电机的概率为 ，

①若安装1台发电机，则Y的值为﹣500，4000，其分布列为：

Y	﹣500	4000
P

E（Y）=﹣500× +4000× = ．

②若安装2台发电机，则Y的值为﹣1000，3500，8000，其分布列为：

Y	﹣1000	3500	8000
P

E（Y）=﹣1000× +3500× +8000× = ．

③若安装3台发电机，则Y的值为﹣1500，3000，7500，12000，其分布列为

Y	﹣1500	3000	7500	12000
P

E（Y）=﹣1500× +3000× +7500× +12000× = ，

∵ ，

∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．

【解析】（Ⅰ）设在区间[0，30）上， =a，由频率分布直方图的性质求出a= ，由此能补充完整频率分布直方图．（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．不能运行发电机的概率为 ，恰好运行一台发电机的概率为 ，恰好运行二台发电机的概率为 ，恰好运行三台发电机的概率为 ，分别求出安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，由此得到要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．