Question

【题目】在平面直角坐标系中，P为直线：上的动点，动点Q满足，且原点O在以为直径的圆上.记动点Q的轨迹为曲线C

（1）求曲线C的方程：

（2）过点的直线与曲线C交于A，B两点，点D（异于A，B）在C上，直线，分别与x轴交于点M，N，且，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设动点，表示出，再由原点O在以为直径的圆上，转化为，得到曲线C的方程.

（2）设而不解，利用方程思想、韦达定理构建面积的函数关系式，再求最小值.

解：（1）由题意，不妨设，则，，

∵O在以为直径的圆上，∴，∴，

∴，∴曲线C的方程为.

（2）设，，，，，

依题意，可设：（其中），由方程组消去x并整理，得

，则，，

同理可设，，

可得，，

∴，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

，

∴，

∴当时，面积取得最小值，其最小值为.