题目内容

【题目】已知点,点,点,动圆轴相切于点,过点的直线与圆相切于点,过点的直线与圆相切于点均不同于点),且交于点,设点的轨迹为曲线.

(1)证明:为定值,并求的方程;

(2)设直线的另一个交点为,直线交于两点,当三点共线时,求四边形的面积.

【答案】(1)证明见解析,方程为.

(2) .

【解析】分析:(1)根据圆的切线性质可得, 从而根据椭圆的可得结果;(2)直线与曲线联立,利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式可得四边形的面积为.

详解(1)由已知可得|PD|=|PE|,|BA|=|BD|,|CE|=|CA|,

所以|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|PC|

=|PE|+|PC|+|AB|

=|CE|+|AB|

=|AC|+|AB|=4>|BC|

所以点P的轨迹是以B,C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点),

可求的方程为=1(y≠0).

(2)由O,D,C三点共线及圆的几何性质,可知PB⊥CD,

又由直线CE,CA为圆O的切线,可知CE=CA,OA=OE,

所以△OAC≌△OEC,进而有∠ACO=∠ECO

所以|PC|=|BC|=2,又由椭圆的定义,|PB|+|PC|=4,得|PB|=2,

所以△PBC为等边三角形,即点P在y轴上,点P的坐标为(0,±)

(i)当点P的坐标为(0,)时,∠PBC=60,∠BCD=30

此时直线l1的方程为y= (x+1),直线CD的方程为y=- (x-1),

整理得5x2+8x=0,得Q(-,-),所以|PQ|=

整理得13x2-8x-32=0,

设M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2,x1x2=-

|MN|=|x1-x2|=

所以四边形MPNQ的面积S=|PQ|·|MN|=

(ii)当点P的坐标为(0,-)时,由椭圆的对称性,四边形MPNQ的面积为

综上,四边形MPNQ的面积为

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