题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点
（1）证明：AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A1FD1．
（1）证明：AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明：面AED⊥面A1FD1．
（1）∵AC1是正方体
∴AD⊥面DC1，
又D1F?面DC1，
∴AD⊥D1F
（2）取AB中点G，连接A1G，FG，
∵F是CD中点
∴GF
AD又A1D1
AD
∴GF
A1D1∴GFD1A1是平行四边形∴A1G∥D1F设A1G∩AE=H
则∠AHA1是AE与D1F所成的角
∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE
∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角
（3）∵AD⊥D1F（（1）中已证）
AE⊥D1F，又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，又∵D1F?面A1FD1，
∴面AED⊥面A1FD1
∴AD⊥面DC1，
又D1F?面DC1，
∴AD⊥D1F
（2）取AB中点G，连接A1G，FG，
∵F是CD中点
∴GF
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| . |
| ||
| . |
∴GF
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| . |
则∠AHA1是AE与D1F所成的角
∵E是BB1的中点∴Rt△A1AG≌Rt△ABE
∴∠GA1A=∠GAH∴∠A1HA=90°即直线AE与D1F所成角是直角
（3）∵AD⊥D1F（（1）中已证）
AE⊥D1F，又AD∩AE=A，∴D1F⊥面AED，又∵D1F?面A1FD1，
∴面AED⊥面A1FD1
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