题目内容
已知椭圆的离心率为
,直线
:
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(3)当P不在x轴上时,在曲线C2上是否存在两个不同点C、D关于PF2对称,若存在,求出PF2的斜率范围,若不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)∵
∴
∴ 
∵直线
相切,
∴
∴
∴
∴椭圆C1的方程是
(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线
的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为
(3)显然PF2不与x轴垂直,设C (
,c),D (
,d),且c≠d,则
=
.
若存在C、D关于PF2对称,则
=-
∵
≠0,∴c+d≠0设线段CD的中点为
,
则x0=
(
+
)=
,y0=
,
将x0代入PF2方程
求得:
=-
(
-
)=
(
-
)
∵
-
=
-
≠1∴
≠
(
)=y0
∴线段CD的中点
不在直线
上.
所以在曲线C2上不存在两个不同点C、D关于PF2对称



∵直线

∴


∴

∴椭圆C1的方程是

(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线

∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C2的方程为

(3)显然PF2不与x轴垂直,设C (




若存在C、D关于PF2对称,则


∵


则x0=





将x0代入PF2方程








∵







∴线段CD的中点


所以在曲线C2上不存在两个不同点C、D关于PF2对称

练习册系列答案
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已知椭圆的离心率为e,两焦点分别为F1、F2,抛物线C以F1为顶点、F2为焦点,点P为抛物线和椭圆的一个交点,若e|PF2|=|PF1|,则e的值为( )
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、以上均不对 |
已知椭圆的离心率为
,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为( )
1 |
2 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|