题目内容

已知椭圆的离心率为,直线:与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.  
(1)求椭圆C1的方程;  
(2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点F2,直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;  
(3)当P不在x轴上时,在曲线C2上是否存在两个不同点C、D关于PF2对称,若存在,求出PF2的斜率范围,若不存在,说明理由。

解:(Ⅰ)∵
∵直线相切,

  
∴椭圆C1的方程是    
(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点M到定直线的距离等于它到定点F1(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l1准线,F2为焦点的抛物线 
∴点M的轨迹C2的方程为    
(3)显然PF2不与x轴垂直,设C (,c),D (,d),且c≠d,则 =
若存在C、D关于PF2对称,则=-    
≠0,∴c+d≠0设线段CD的中点为,
则x0=(+)=,y0=
将x0代入PF2方程求得:=-( -)=(-)
-=-≠1∴()=y0
∴线段CD的中点不在直线上.
所以在曲线C2上不存在两个不同点C、D关于PF2对称
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