Question

14．如图，AB=AC=BC=a，AD=BD=CD=2a，E是AB中点，求异面直线DE与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 取BC中点F，连结EF，DF，由三角形中位线定理得EF∥AC，从而∠DEF是异面直线DE与AC所成角（或所成角的补角），由利用余弦定理能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．

解答 解：取BC中点F，连结EF，DF，
∵AB=AC=BC=a，AD=BD=CD=2a，E是AB中点，
∴EF=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{a}{2}$，且EF∥AC，
∴∠DEF是异面直线DE与AC所成角（或所成角的补角），
∵DF=DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{4{a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∴cos∠DEF=$\frac{D{E}^{2}+E{F}^{2}-D{F}^{2}}{2•DE•EF}$=$\frac{\frac{15}{4}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{15}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{15}}{2}a×\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{30}$．
∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{30}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．