题目内容
6.设f(x),g(x)在区间[a,b]上恒有f′(x)≤g′(x),给出下列结论:①f(x)+f(b)≥g(x)+g(b)
②f(x)-f(b)≥g(x)-g(b)
③f(x)≥g(x)
④f(a)-f(b)≥g(b)-g(a)
其中正确结论的序号为②④.
分析 比较大小常用方法就是作差,构造函数h(x)=f(x)-g(x),研究h(x)在给定的区间[a,b]上的单调性,h(x)在给定的区间[a,b]上是减函数从而h(b)≤h(x)≤h(a).
解答 解:设f(x),g(x)在区间[a,b]上恒有f′(x)≤g′(x),
令h(x)=f(x)-g(x),
∴h′(x)=f′(x)-g′(x)≤0在[a,b]恒成立,
∴h(x)在[a,b]上为减函数,
∴h(b)≤h(x)≤h(a),
∴f(b)-g(b)≤f(x)-g(x)≤f(a)-g(a),
∴f(x)-f(b)≥g(x)-g(b),f(x)+g(a)≤g(x)+f(a),f(a)-f(b)≥g(a)-g(b),
故正确的序号为:②④.
故答案为:②④.
点评 本题考查了导数和函数单调性的关系,关键是构造函数,求出函数的最值,属于中档题.
练习册系列答案
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A. | sin2x | B. | cos2x | C. | -sin2x | D. | -cos2x |
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A. | (-∞,3) | B. | (-1,3) | C. | [-1,3) | D. | [-1,+∞) |