题目内容

如图，正方体AC1
（1）在BD上确定一点E，使D1E∥面A1C1B；
（2）求直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值；
（3）求面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．
（1）连接AC，B1D1，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，连接D1O，O1B，则
∵D1O1=BO，D1O1∥BO，∴四边形D1OBO1是平行四边形，
∴D1O∥O1B
∵D1O?平面A1C1B，O1B?平面A1C1B，
∴D1O∥面A1C1B；
∴BD上存在中点E，使D1E∥面A1C1B；
（2）连接B1D，则B1D⊥面A1C1B，设垂足为G，则∠GBB1为直线BB1和面A1C1B所成角
∵B1G=
1
3
B1D=
3
3
BB1，
∴直线BB1和面A1C1B所成角的正弦值为
3
3
；
（3）∵△A1C1B在底面ABCD中的射影为△ACB
∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为
S△ACB
SABCD
=
1
2

∴面A1C1B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值
3
2
．
练习册系列答案
相关题目
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B和平面ABCD所成角是______．
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点．
（1）求二面角E-AF-B的大小；&nb5p;
（2）求点B到面AEF的距离．
如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．
（1）求证：EF⊥PD；
（2）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；
（3）求二面角E-PF-B的大小．
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2PA，D、E分别是棱AB，AC上的动点，且AD=CE，连接DE，当三棱锥P-ADE体积最大时，平面PDE和平面PBC所成二面角的余弦值为（　　）
A．
1
2
B．
3
2
C．
21
14
D．
5
7
14
正四棱锥相邻二侧面形成的二面角为θ，则θ的取值范围是（　　）
A．（0，
π
2
）		B．（
π
3
，
π
2
）		C．（
π
4
，
π
3
）		D．（
π
2
，π）
正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是______．
如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，
CF=3FC1，AH=3HD，
（1）求异面直线EB1与HF之间的距离
（2）求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值．
如图，在三棱锥P-ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点．
（Ⅰ）证明：直线QK∥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB=BC=8，且二面角Q-AK-M的平面角的余弦值为
3
9
，试求MK的长度．

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