Question

14．若正实数x，y满足xy=2x+y+6，求xy的最小值．

Answer 1

分析 由题意和基本不等式可得xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，解关于$\sqrt{xy}$的不等式可得．

解答 解：∵正实数x，y满足xy=2x+y+6，
∴xy=2x+y+6≥2$\sqrt{2xy}$+6，
整理可得（$\sqrt{xy}$）²-2$\sqrt{2}$•$\sqrt{xy}$-6≥0，
解关于$\sqrt{xy}$的不等式可得$\sqrt{xy}$≥3$\sqrt{2}$，$\sqrt{xy}$≤-$\sqrt{2}$（舍去）
∴平方可得xy≥18
当且仅当2x=y即x=3且y=6时取等号，
∴xy的最小值为18．

点评 本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题．