题目内容
已知函数.
(I)当时,求
的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数和
在其公共定义域内的任意实数
,称
的值为两函数在
处的差值。证明:当
时,函数
和
在其公共定义域内的所有差值都大干2。
(I) a=0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a<0时,f(x)在
上单调递增;f(x)在
上单调递减.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)证明详见解析.
解析试题分析:(I)首先求出原函数的导数,然后分类求出>0或
<0的解集,最后根据导数的性质,得出结论即可.(Ⅱ)由已知可知
有解,构造函数
,求导
,利用基本不等式判断导数的符号,确定函数
的单调性,求出最大值即可.(Ⅲ) 首先确定公共定义域(0,+
),
,然后构造函数
和
利用导函数的性质求出它们的单调性,极值点和极值,即可确定最值,求得
.
试题解析:(I)f(x)的定义域是(0,+),
.
1.当a=0时,>0,所以f(x)在(0,+
)上单调递增;
2.当a<0时,由=0,解得
,则
时,
>0,所以f(x)在
上单调递增;
时,
<0,所以f(x)在
上单调递减.
综上所述,a=0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a<0时,f(x)在
上单调递增;f(x)在
上单调递减.
(Ⅱ) 由题意有解,即
有解,
因此只需有解即可.
设
,则
因为,且
时,
.
所以<0,即
<0,
故h(x)在单调递减,
所以h(x)<h(0)=0,故m<0.
(Ⅲ)当a=0时,,f(x)与g(x)的公共定义域为
,
,
设,则
,
在
上单调递增,所以
.
又设则
当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减;
所以x=1为函数的极大值点,即
,故
.
即公共定义域内任一点差值都大于2.
考点:1.函数的导数;2.导数的性质;3.不等式的证明.

练习册系列答案
相关题目