题目内容
设函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设函数,若对于[1,2],
[0,1],使成立,求实数的取值范围.
(1) ;(2)递增区间为(1,2),递减区间为(0,1),;(3).
解析试题分析:(1)将代入,分别得到,,再由点斜式得到在处的切线方程为;(2)将代入得到,从而得到递增区间为(1,2),递减区间为(0,1),;(3)先将题设条件转化为在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.再得到,然后讨论的范围,又在[1,2]上最小值为.由单调性及从而得到的取值范围为.
试题解析:(1)函数的定义域为
,
当时,,,
,故.
所以在处的切线方程为.
(2)当时,.
故当或时,;当时,.
所以函数的递增区间为(1,2),递减区间为(0,1),.
(3)由(2)知,在(1,2)上为增函数,
所以在[1,2]上的最小值为,
若对于[1,2],[0,1],使成立在[0,1]上的最小值不大于在[1,2]上的的最小值.
又,
当时,在[0,1]上为增函数,与题设不符.
当时,,由及,得;
当时,在[0,1]上为减函数,及得.
综上所述,的取值范围为.
考点:1.导数;2.直线的方程;3.函数的单调性与最值.
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