题目内容
【题目】已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:在上为增函数;
(Ⅲ)若在区间上有且只有一个极值点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明如下;(Ⅲ);
【解析】
试题(Ⅰ)由题可知,当时,函数,求曲线在点处的切线方程,则满足,通过点斜式直线方程,,可求出直线方程;(Ⅱ)当时,函数,求出导数,令,通过对求导,得到的单调性为在上是减函数,在上是增函数,于是函数在时取得最小值,因此,故函数在上为增函数.(Ⅲ)对函数求导,.
令,.对进行讨论,当时,函数在上为增函数,将端点值代入,得到一正一负,即存在为函数在区间上唯一的极小值点,当时,函数在上为增函数,将端点值代入,得到,因此函数无极值点,当时,当时,总有成立,即成立,故函数在区间上为单调递增函数,所以在区间上无极值.
试题解析:解:函数定义域为,.
(Ⅰ)当时,,.
所以.
所以曲线在点处的切线方程是,
即.
(Ⅱ) 当时,.
设,则.
令得,或,注意到,所以.
令得,注意到,得.
所以函数在上是减函数,在上是增函数.
所以函数在时取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是,当,恒成立.
所以当时,函数在上为增函数.
(Ⅱ)问另一方法提示:当时,.
由于在上成立,即可证明函数在上为增函数.
(Ⅲ)(Ⅱ).
设,.
(1)当时,在上恒成立,
即函数在上为增函数.
而,,则函数在区间上有且只有一个零点,使,且在上,,在上,,故为函数在区间上唯一的极小值点;
(2)当时,当时,成立,函数在区间上为增函数,又此时,所以函数在区间恒成立,即,
故函数在区间为单调递增函数,所以在区间上无极值;
(3)当时,.
当时,总有成立,即成立,故函数在区间上为单调递增函数,所以在区间上无极值.
综上所述.