题目内容

【题目】已知函数

)当时,求曲线在点处的切线方程;

)当时,求证:上为增函数;

)若在区间上有且只有一个极值点,求的取值范围

【答案】证明如下;

【解析】

试题由题可知,当时,函数,求曲线在点处的切线方程,则满足,通过点斜式直线方程,,可求出直线方程;时,函数,求出导数,令,通过对求导,得到的单调性为在上是减函数,在上是增函数,于是函数时取得最小值,因此,故函数上为增函数对函数求导,

进行讨论,当时,函数上为增函数,将端点值代入,得到一正一负,即存在为函数在区间上唯一的极小值点,当时,函数上为增函数,将端点值代入,得到,因此函数无极值点,当时,当时,总有成立,即成立,故函数在区间上为单调递增函数,所以在区间上无极值

试题解析:解:函数定义域为

)当时,

所以

所以曲线在点处的切线方程是

时,

,则

得,,注意到,所以

得,注意到,得

所以函数上是减函数,在上是增函数

所以函数时取得最小值,且

所以上恒大于零

于是,当恒成立

所以当时,函数上为增函数

)问另一方法提示:当时,

由于上成立,即可证明函数上为增函数

)(

1)当时,上恒成立,

即函数上为增函数

,则函数在区间上有且只有一个零点,使,且在上,,在上,,故为函数在区间上唯一的极小值点;

(2)当时,当时,成立,函数在区间上为增函数,又此时,所以函数在区间恒成立,即

故函数在区间为单调递增函数,所以在区间上无极值;

(3)当时,

时,总有成立,即成立,故函数在区间上为单调递增函数,所以在区间上无极值

综上所述

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练习册系列答案
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