Question

【题目】如图，已知焦点在x轴上的椭圆有一个内含圆x2＋y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且 (O为原点).

（1）求b的值；

（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B.求证：，并求|AB|的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）设的坐标，利用，求得，得到点代入椭圆的方程，即可求解；

（2）分类讨论，当轴时，由（1）知；当不与轴垂直时，设的方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理证得，再利用弦长公式，结合换元法和二次函数的性质，即可求解.

（1）由圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，，

可得直线的方程为，

设，

由，即，解得，

可得点在椭圆上，代入椭圆方程，

可得.

（2）当轴时，由（1）知，

当不与轴垂直时，设的方程为，即，

则原点到直线的距离，可得，整理得，

把直线代入椭圆的方程，

整理得，

则，

设，则，

所以，即，

即椭圆内含圆的任意切线交椭圆时，总有，

当轴时，可得；

当不与轴垂直时，可得，

设，则，

则，

所以当，即时，的取最大值，

当，即时，的取最小值，

综上可得，的取值范围是.