题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数在
处取得极值,
(0,
),
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1)时,
在(0,
)上没有极值点;当
时,
在(0,
)上有一个极值点.(2)
【解析】
(1)首先求得函数的定义域和导函数,对
分成
和
两种情况,讨论
的极值点个数.
(2)利用求得
的值,将不等式
分离常数,转化为
,构造函数
利用导数求得
的最小值,由此求得
的取值范围,进而求得实数
的最大值.
(1)的定义域为(0,
),
.
当时,
在(0,
)上恒成立,函数
在(0,
)上单调递减.
∴在(0,
)上没有极值点.
当时,由
,得
;
由,得
,
∴在(0,
)上递减,在(
,
)上递增,即
在
处有极小值.
综上,当时,
在(0,
)上没有极值点;
当时,
在(0,
)上有一个极值点.
(2)∵函数在
处取得极值,
∴,则
,从而
.
因此,
令,则
,
令,得
,
则在(0,
)上递减,在(
,
)上递增,
∴,即
.
故实数的最大值是
.
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练习册系列答案
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了2015年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如表:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差x(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程bx+a;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得到的线性回归方程是否可靠?
,
.