Question

【题目】在直三棱柱，，F、E分别是和的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，由//，即可由线线平行推证线面平行；

（2）先推证，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，即可由此求得二面角的余弦值.

（1）证明：连结，在中，F为长方形对角线的交点，

如下图所示：

∴F为的中点，∴，

又平面，平面，

∴平面

（2）连结，由直三棱柱性质及，得，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

∵，∴，

∵，，∴平面，

∵平面，∴，

以C为坐标原点，射线，，为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

如下图所示：

，，，，，

设平面的法向量，

则取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则二面角的余弦值为：

.

故二面角的余弦值为.