题目内容
定义在
上的函数
,对于任意的m,n∈(0,+∞),都有
成立,当x>1时,
.
(1)求证:1是函数
的零点;
(2)求证:
是(0,+∞)上的减函数;
(3)当
时,解不等式
.




(1)求证:1是函数

(2)求证:

(3)当


(3)当a=0时,解集为
;当a>0时,解集为
;
当a<0时,解集为
..


当a<0时,解集为

(1)赋值法,求得
;(2)注意构造
;
(3)由
等价于
,分类讨论.
解:(1)对于任意的正实数m,n都有
成立,
所以令m=n=1,则
.
∴
,即1是函数f(x)的零点. (3分)
(2)设0<x1<x2,则由于对任意正数
,
所以
,即
又当x>1时,
,而
.所以
.
从而
,因此
在(0,+∞)上是减函数. (7分)
(3)根据条件有
,
所以
等价于
.
再由
是定义在(0,+∞)上的减函数,所以0<ax+4<4.即
. (9分)
当a=0时,-4<0<0不成立,此时不等式的解集为
; (10分)
当a>0时,-4<ax<0,即
,此时不等式的解集为
;
当a<0时,-4<ax<0,即
,此时不等式的解集为
.(12分)


(3)由


解:(1)对于任意的正实数m,n都有

所以令m=n=1,则

∴

(2)设0<x1<x2,则由于对任意正数

所以


又当x>1时,



从而


(3)根据条件有

所以


再由


当a=0时,-4<0<0不成立,此时不等式的解集为

当a>0时,-4<ax<0,即


当a<0时,-4<ax<0,即



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