题目内容
已知f（x）是定义域在R上的函数，f（2+x）=-f（2-x），f（x+2）=-
．
（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期；
（2）判断f（x）的奇偶性．
| 1 | f(x) |
（1）函数f（x）是不是周期函数，若是，求出周期；
（2）判断f（x）的奇偶性．
分析：（1）由已知可得f（x+4）=f[2+（x+2）]=-
=f（x）可求函数的周期
（2）由f（2+x）=-f（2-x）可得f（x）=-f（4-x），结合（1）中的周期可判断
| 1 |
| f(x+2) |
（2）由f（2+x）=-f（2-x）可得f（x）=-f（4-x），结合（1）中的周期可判断
解答：（1）证明：∵f（x+4）=f[2+（x+2）]=-
=f（x）
∴f（x）是以4为周期的周期函数
（2）由f（2+x）=-f（2-x）
令t=2-x则x=2-t
故f（t）=-f（4-t）即f（x）=-f（4-x）
∴f（-x）=-f（4+x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
| 1 |
| f(x+2) |
∴f（x）是以4为周期的周期函数
（2）由f（2+x）=-f（2-x）
令t=2-x则x=2-t
故f（t）=-f（4-t）即f（x）=-f（4-x）
∴f（-x）=-f（4+x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数
点评：本题主要考查了抽象函数的周期及函数的奇偶性的判断，解题的关键是熟练应用函数的性质
练习册系列答案
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