Question

(本小题满分14分)
如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于两点，点是点关于原点的对称点.

(1) 设点分有向线段所成的比为，证明:;
(2) 设直线的方程是，过两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程.

Answer 1

（1）证明略
（2）圆的方程是 (或)

(1) 依题意，可设直线的方程为 代入抛物线方程得   
    ①
设两点的坐标分别是 、、是方程①的两根.
所以                                                   --- 2分
由点分有向线段所成的比为，得
又点与点关于原点对称，故点的坐标是，从而.--- 2分
 --- 2分
 所以               --- 2分
(2) 由 得点的坐标分别是（6，9）、（－4，4）,     --- 2分
由   得
所以抛物线 在点处切线的斜率为,                  --- 2分
设圆的圆心为, 方程是
则解得
则圆的方程是 (或)--- 2分