题目内容
【题目】如图,平面四边形ABCD中,AC与BD交于点P,若3BP=BD,AB=ADBC,
,则
_____.
【答案】
【解析】
延长BC到E,使得BE=3BC,连结DE,结合已知得3
,由相似三角形性质得P是BD的三等分点,且AP=PC,分别过A,C作BD的垂线,垂足为N,M,PM=PN=BM,得BC=PC,过C作CF//AD交DE于F,则四边形ACFD是平行四边形,设BC=1,计算出各线段长,可得CF⊥DE,四边形ACFD是矩形,这样可计算出
,得所求比值.
延长BC到E,使得BE=3BC,连结DE,
则3
,又3
3
,
∴3
,
∴DE//AC,DE=3AP.
∴,
∴,
∴P是BD的三等分点,且AP=PC.
分别过A,C作BD的垂线,垂足为N,M, ∵,
∴PM=PN=BM,
∴BC=PC,
过C作CF//AD交DE于F,则四边形ACFD是平行四边形,
设BC=1,则AB=AD,CE=2BC=2,CF=AD
,DE=3PC=3,
∴EFDE=1,
∴CE2=CF2+EF2,∴CF⊥DE,
∴四边形ACFD是矩形,∴∠CAD,
∴CD,
∴.
故答案为:.
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