题目内容
已知A、B、C是球O的球面上三点，∠BAC=90°，AB=2，BC=4，球O的表面积为48π，则异面直线AB与OC所成角余弦值为______．
设球O的半径为R，
则球O的表面积为S=4πR2=48π，解得R=2
．
∵AB=2，BC=4，∠BAC=90°，
∴BC为平面ABC截球所得小圆的直径，
以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，可得四边形ACDB是截得小圆的内接矩形．
∵CD∥AB，∴∠OCD（或其补角）就是异面直线AB与OC所成角．
连线OD、OB，
△OCD中，CO=DO=R=2
，CD=AB=2．
∴cos∠OCD=
=
=
故答案为：
则球O的表面积为S=4πR2=48π，解得R=2
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∵AB=2，BC=4，∠BAC=90°，
∴BC为平面ABC截球所得小圆的直径，
以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，可得四边形ACDB是截得小圆的内接矩形．
∵CD∥AB，∴∠OCD（或其补角）就是异面直线AB与OC所成角．
连线OD、OB，
△OCD中，CO=DO=R=2
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∴cos∠OCD=
| CO2+CD2-DO2 |
| 2×CO×CD |
| 12+4+12 | ||
2×2
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| 6 |
故答案为：
| ||
| 6 |
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