Question

4．证明不等式ln （x+1）≥x-$\frac{1}{2}$x²（x∈R⁺）．

Answer 1

分析 令f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{2}$x²，确定函数在（0，+∞）上单调递增，即可证明结论．

解答 证明：令f（x）=ln（1+x）-x+$\frac{1}{2}$x²，
则x＞0时，f'（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$＞0
∴函数在（0，+∞）上单调递增，
∵f（0）=0，
∴f（x）＞0，
∴ln （x+1）＞x-$\frac{1}{2}$x²．

点评 本题考查利用导数，证明不等式，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．