Question

19．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（sinA，cosB），$\overrightarrow{p}$=（1，1）．
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，求角B的大小；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{p}$=4，边长c=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的坐标关系得到三角形的边角关系，结合正弦定理其B；
（2）由数量积得到a+b=4，结合余弦定理求出ab范围，结合基本不等式进一步求三角形的面积最大值．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，所以acosB=bsinA，所以asin（90°-B）=bsinA由正弦定理得到bsinA=asinB，sinB=cosB，所以B=45°；
（2）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{p}$=4，则a+b=4，c=2，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{12-2ab}{2ab}$=$\frac{6}{ab}-1$，
所以ab=$\frac{6}{1+cosC}$$≤（\frac{a+b}{2}）^{2}$=4，所以cosC$≥\frac{1}{2}$，所以sinC$≤\frac{\sqrt{3}}{2}$
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}absinC$$≤\frac{1}{2}（\frac{a+b}{2}）^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
所以三角形面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．