Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点作斜率为k（k>0）的直线与椭圆交于，不同两点，线段的中垂线为，记的纵截距为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据椭圆的定义得到的值，再根据离心率得到的值，从而计算出即得椭圆方程．

（2）设，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理算出的中点坐标（用表示），再计算中垂线的直线方程，从而得到，而由直线与椭圆相交可得，最后利用导数求的取值范围．

（1）因为，所以，所以 ，

因为，所以 ，

所以 ，所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设:，，，

联立直线与椭圆，消去得，·

，，·

又，解得：，

·故．

设，的中点为，则，，

所以：，即，

化简得：，

令，得，，

，当时，恒成立， 所以在上为增函数，所以．