Question

10．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{x}+{a}^{-x}}{2}$（a＞0，a≠1，a为常数，x∈R）．
（1）若f（m）=8，求f（-m）的值；
（2）若f（1）=3，求f（2）及f（$\frac{1}{2}$）．
[注：函数y=a^x（a＞0，a≠1）叫做指数函数，则y=a^x＞0]．

Answer 1

分析 （1）先判断函数的奇偶性，即可求出f（-m）的值；
（2）根据f（1）=3，得到a+a^-1=6，再根据指数幂的运算公式分别求出f（2）及f（$\frac{1}{2}$）．

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{{a}^{-x}+{a}^{x}}{2}$=f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（-m）=f（m）=8；
（2）∵f（1）=$\frac{a+\frac{1}{a}}{2}$=3，
∴a+a^-1=6，
∴f（2）=$\frac{1}{2}$（a²+a^-2）=$\frac{1}{2}$[（a+a^-1）²-2]=$\frac{1}{2}$×（36-2）=17，
∵（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）²=a+a^-1+2=8，
∴（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=2$\sqrt{2}$
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{a}$+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，

点评 本题考查了函数的奇偶性质和指数幂的运算，属于基础题．