题目内容

19.设x,y∈R+,且x+y=1,求$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值,并指出此时x,y的取值.

分析 整体代入可得$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)(x+y)=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$,由基本不等式可得.

解答 解:∵x,y∈R+,且x+y=1,
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)(x+y)
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$时取等号,
结合x+y=1可得x=$\sqrt{2}$-1且y=2-$\sqrt{2}$

点评 本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题.

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