题目内容
19.设x,y∈R+,且x+y=1,求$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$的最小值,并指出此时x,y的取值.分析 整体代入可得$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)(x+y)=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$,由基本不等式可得.
解答 解:∵x,y∈R+,且x+y=1,
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=($\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$)(x+y)
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$时取等号,
结合x+y=1可得x=$\sqrt{2}$-1且y=2-$\sqrt{2}$
点评 本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
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9.下列判断正确的是 ( )
A. | 1.92.5>1.93 | B. | 0.3-2.5>0.3-2.1 | C. | ($\frac{1}{3}$)-2<3${\;}^{\frac{1}{2}}$ | D. | 50.5<1 |