Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
（1）当椭圆的离心率e=

1

2

，一条准线方程为x=4 时，求椭圆方程；
（2）设P（x，y）是椭圆上一点，在（1）的条件下，求z=x+2y的最大值及相应的P点坐标．
（3）过B（0，-b）作椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的弦，若弦长的最大值不是2b，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据题中条件：“椭圆的离心率e=

1

2

，一条准线方程为x=4”列出方程解出a，b，c．从而得出椭圆方程．
（2）因为P（x，y）在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，根据椭圆的参数方程，可设x=2cosθ，y=

3

sinθ，将z=x+2y表示成三角函数的形式，再结合三角函数的性质求出其最大值，从而得出相应的P点坐标．
（3）设弦为BP，其中P（x，y），得出BP的表达式，因为BP的最大值不是2b，又f（b）=4b²，得出f（y）不是在y=b时取最大值，而是在对称轴y=

b3

c2

处取最大值，最后解得b，c的关系，解得离心率的范围即可．

解答：解：（1）∵

e= c a = 1 2 a2 c =4

，∴c=1，a=2，b=

3

，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）因为P（x，y）在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，所以可设x=2cosθ，y=

3

sinθ，
则z=2cosθ+2

3

sinθ=4sin(θ+

π

6

)≤4，∴z_max=4，此时θ=2kπ+

π

3

(k∈Z)，
相应的P点坐标为(1，

3

2

)．
（3）设弦为BP，其中P（x，y），∵BP2=x2+(y+b)2=a2-

a2

b2

y2+y2+2by+b2
=-

c2

b2

y2+2by+a2+b2=-

c2

b2

(y-

b3

c2

)+

b4

c2

+a2+b2=f(y)，(-b≤y≤b)，
因为BP的最大值不是2b，又f（b）=4b²，
所以f（y）不是在y=b时取最大值，而是在对称轴y=

b3

c2

处取最大值，
所以

b3

c2

＜b，所以b²＜c²，解得离心率e∈(

2

2

，1)．

点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意（3）的处理问题的一般方法，首先求出弦长的函数，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．