题目内容
设无穷等比数列的公比为q,且,表示不超过实数的最大整数(如),记,数列的前项和为,数列的前项和为.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若对于任意不超过的正整数n,都有,证明:.
(Ⅲ)证明:()的充分必要条件为.
(Ⅰ);(Ⅱ)答案详见解析;(Ⅲ)答案详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)由已知得,,,,且当时,.且,故,,,且当时,,进而求;(Ⅱ)已知数列的前项和(),可求得,由取整函数得,,故,要证明,只需证明,故可联想到,则;(Ⅲ)先证明充分性,当时,,由取整函数的性质得,故;必要性的证明,当时,,则有.
试题解析:(Ⅰ)解:由等比数列的,,得,,,且当时,.
所以,,,且当时,.
即
(Ⅱ)证明:因为 ,所以 ,.
因为 ,
所以 ,.
由 ,得 .
因为 ,
所以 ,
所以 ,即 .
(Ⅲ)证明:(充分性)因为 ,,
所以,
所以对一切正整数n都成立.
因为,,
所以.
(必要性)因为对于任意的,,
当时,由,得;
当时,由,,得.
所以对一切正整数n都有.
由 ,,得对一切正整数n都有,
所以公比
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