Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（1）已知，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列，求证数列c_n是一个“1 类和科比数列”（4分）；
（3）设等差数列{b_n}是一个“k类和科比数列”，其中首项b₁，公差D，探究b₁与D的数量关系，并写出相应的常数t=f（k）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推导出数列a_n为等比数列，然后将a₁=2，q=4代入等比数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）中求出的an的通项公式便可求出cn的通项公式为cn=2n-1，然后求出为定值，便可证明数列c_n是一个“1 类和科比数列”；
（3）根据题中“k类和科比数列”的定义，将=t便可求出D与b₁的关系，继而可以求出常数t的表达式．
解答：解：（1）联立：，
∴，
∴，
所以{a_n}是等比数列，
由 ，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1 =2^2n-1 ．
（2）c_n=2n-1前n项的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n² ，，
所以数列{a_n}是一个“1类和科比数列”．
（3）对任意一个等差数列数列b_n，首项b₁，公差D，
．
，
，对一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt对一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）对一切n∈N^*恒成立，
所以，
D=2b₁ ，
所以．
点评：本题考查了等差数列的基本性质以及数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．