Question

19．已知函数f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，a为给定的实数），求证：y=f（x）的图象关于直线y=x对称．

Answer 1

分析 法一、要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x′，y′）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y′，x′）也在此函数的图象上即可；
法二、证明函数f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，a为给定的实数）的反函数是本身．

解答 证明：法一、设点P（x′，y′）是这个函数图象上任意一点，则x′≠$\frac{1}{a}$，且y′=$\frac{x′-1}{ax′-1}$
（1）点P（x′，y′）关于直线y=x的对称点P′的坐标为（y′，x′），
由（1）式得y′（ax′-1）=x′-1，即x′（ay′-1）=y′-1，
（2）假如ay′-1=0，则y′=$\frac{1}{a}$，代入（1）得$\frac{1}{a}=\frac{x′-1}{ax′-1}$，
即ax′-a=ax′-1，由此得a=1，与已知矛盾，∴ay′-1≠0．
于是由（2）式得x′=$\frac{y′-1}{ay′-1}$．
这说明点P′（y′，x′）在已知函数的图象上，
因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形；
法二、由y=$\frac{x-1}{ax-1}$（x≠$\frac{1}{a}$），得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，
∴x=$\frac{y-1}{ay-1}$，把x，y互换可得，y=$\frac{x-1}{ax-1}$（x≠$\frac{1}{a}$），即函数f（x）=$\frac{x-1}{ax-1}$（x∈R，x≠$\frac{1}{a}$，）与自身互为反函数，
∴y=f（x）的图象关于直线y=x对称．

点评 本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力，属于中档题．