Question

某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放最比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量万吨.
（1）从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量（万吨）依次构成数列，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围.

Answer 1

（1）,（）；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）根据题意：,（）
（2）由（1）得：，所以数列是等比数列；
（3）由（2）得： 
若该市始终不需要采取紧急限排措施，则，即，可由分离变量法求的取值范围.
解：（1）由已知，,（）.   4分
（2）由（1）得：，所以数列是以为首项、为公比的等比数列.   6分
（3）由（2）得： ，
即 .                          8分
由 ，得恒成立（）  11分
解得：；
又 ，综上，可得.                    12分