Question

10．已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=a^x-1（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）+g（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）使f（x）+g（x）有意义，则有x+1＞0，这样便可得到f（x）+g（x）的定义域；
（2）根据对数函数、指数函数，以及单调性的定义即可判断f（x）+g（x）的单调性．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=$lo{g}_{a}（x+1）+{a}^{x-1}$；
∴x+1＞0；
∴x＞-1；
∴函数f（x）+g（x）的定义域为（-1，+∞）；
（2）①a＞1时，f（x）和g（x）在（-1，+∞）上都单调递增；
∴f（x）+g（x）在（-1，+∞）上单调递增；
②0＜a＜1时，f（x）和g（x）在（-1，+∞）都单调递减；
∴f（x）+g（x）在（-1，+∞）上单调递减；
即a＞1时，f（x）+g（x）在（-1，+∞）上单调递增，0＜a＜1时，f（x）+g（x）在（-1，+∞）上单调递减．

点评 考查函数定义域，函数单调性的定义，以及指数函数、对数函数的单调性，f（x）+g（x）的单调性和f（x），g（x）单调性的关系．