Question

12．已知函数f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$和g（x）=m（x-1）（m∈R）．
（1）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=1时，f（x）=g（x）化为xlnx-x²+1=0，设h（x）=xlnx-x²+1，确定其单调性，即可求方程f（x）=g（x）的实根；
（2）任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函数单调递增，f′（1）=$\frac{1}{2}$，根据对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）m=1时，f（x）=g（x）化为xlnx-x²+1=0，
设h（x）=xlnx-x²+1，则h′（x）=lnx+1-2x，
∴h″（x）=$\frac{1}{x}$-2，
∴h′（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递减，
∴h′（x）_max=h′（$\frac{1}{2}$）=-ln2，
∴h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵h（1）=0，
∴方程f（x）=g（x）的实根为x=1；
（2）∵f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，
∴任意的x∈[1，+∞），f′（x）=$\frac{lnx+x+1}{（x+1）^{2}}$＞0，函数单调递增，
∵f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，m≥$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．