题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若曲线在
处的切线
与直线
垂直,求
的值;
(Ⅱ)当时,求证:存在实数
使
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)先根据题意可得处的切线
的斜率为2,从而求得a(2)对于存在问题可根据题意赋值验证,当
时,显然有
,即存在实数
使
;当
时分析函数单调性,得函数最小值,若最小值小于1即得证
试题解析:
(Ⅰ),
因为曲线在
处的切线与直线
垂直,
所以切线的斜率为2,
所以,
所以.
(Ⅱ)法1:当时,显然有
,即存在实数
使
;
当时,由
可得
,
所以在时,
,所以函数
在
上递减;
时,
,所以函数
在
上递增
所以
是
的极小值.
由函数可得
,
由可得
,
所以,
综上,若,存在实数
使
.
(Ⅱ)法2:当时,显然有
,即存在实数
使
;
当时,由
可得
,
所以在时,
,所以函数
在
上递减;
时,
,所以函数
在
上递增.
所以
是
的极小值.
设,则
,令
,得
+ | 0 | - | |
↗ | 极大值 | ↘ |
所以当时
,
所以,
综上,若,存在实数
使
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
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【题目】某大学为调研学生在A,B两家餐厅用餐的满意度,从在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为60分.
整理评分数据,将分数以为组距分成
组:
,
,
,
,
,
,得到A餐厅分数的频率分布直方图,和B餐厅分数的频数分布表:
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下:
分数 | |||
满意度指数 |
(Ⅰ)在抽样的100人中,求对A餐厅评价“满意度指数”为的人数;
(Ⅱ)从该校在A,B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查,试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率;
(Ⅲ)如果从A,B两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家?说明理由.