Question

【题目】如图所示，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，弦PQ的中点为N，经过点N作y轴的垂线与C的准线交于点T．

（Ⅰ）若直线l的斜率为1，且|PQ|=4，求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）证明：无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由直线l的斜率为1，可设直线l的方程为y=x﹣ ，

与抛物线C的方程联立，化简得x2﹣3px+ =0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，x1+x2=3p，

∴|PQ|=x1+x2+p=4p=4，p=1，

∴抛物线C的方程为y2=2x．

（Ⅱ）证明：设直线l的方程为x=my+ ，

与抛物线C的方程联立，化简得y2﹣2pmy﹣p2=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），由韦达定理可知，y1+y2=2pm，

∴x1+x2=m（y1+y2）+p=2pm2+p，

∴点N的坐标为（pm2+ ，pm），

∴点T的坐标为（﹣ ，pm），

∴ =（﹣p，pm）， =（pm2，pm），

∴ =﹣p2m2+p2m2=0，

∴无论p为何值，以线段TN为直径的圆总经过点F

【解析】（Ⅰ）用p表示出直线l的方程，将其与抛物线的方程联立后利用韦达定理用p表示出PQ的长，进而求得p的值，即可得到抛物线的方程；（Ⅱ）若线段TN为直径的圆总经过点F，则FT与FN互相垂直，从而找到证明的突破口.