题目内容
【题目】已知函数, .
(1)试比较与的大小关系,并给出证明;
(2)解方程: ;
(3)求函数, (是实数)的最小值.
【答案】(1)(2)或.(3)
【解析】试题分析:(1)与作差,配方后即可得;(2)原方程化为,设,可得,进而可得结果;(3)令,则,函数可化为,利用二次函数的性质分情况讨论,分别求出两段函数的最小值,比较大小后可得各种情况下函数, (是实数)的最小值.
试题解析:(1)因为,
所以.
(2)由,得,
令,则,故原方程可化为,
解得,或(舍去),
则,即,解得或,
所以或.
(3)令,则,
函数可化为
①若,
当时, ,对称轴,此时;
当时, ,对称轴,此时,
故, .
②若,
当, ,对称轴,此时;
当时, ,对称轴,此时,
故, .
③若,
当时, ,对称轴,此时;
当时, ,对称轴,此时,故, ;
④若,
当时, ,对称轴,此时;
当时, ,对称轴,此时,
则时, ,
时, ,
故,
⑤若,
当时, ,对称轴,此时;
当时, ,对称轴,此时,
因为时, ,
故, .
综述:
【题目】某公司为了研究年宣传费(单位:千元)对销售量(单位:吨)和年利润(单位:千元)的影响,搜集了近 8 年的年宣传费和年销售量数据:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
38 | 40 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 | 56 | |
45 | 55 | 61 | 63 | 65 | 66 | 67 | 68 |
(Ⅰ)请补齐表格中 8 组数据的散点图,并判断与中哪一个更适宜作为年销售量关于年宣传费的函数表达式?(给出判断即可,不必说明理由)
(Ⅱ)若(Ⅰ)中的,且产品的年利润与, 的关系为,为使年利润值最大,投入的年宣传费 x 应为何值?
【题目】某同学参加学校自主招生3门课程的考试,假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(p<q),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立,记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
p | x | y |
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p,q的值;
(Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ.