题目内容
【题目】已知圆 :
上的点
关于点
的对称点为
,记
的轨迹为
.
(1)求 的轨迹方程;
(2)设过点 的直线
与
交于
,
两点,试问:是否存在直线
,使以
为直径的圆经过原点?若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
:
和
:
.
【解析】试题分析:
(1)设的坐标为
,
的坐标为
,利用中点坐标公式可得
,则
的轨迹方程为
.
(2)设,
,由题意
,
的斜率均存在,则
,
分类讨论:当直线的斜率不存在时,满足
,
当直线的斜率存在时,联立直线方程与圆的方程有
,结合韦达定理计算可得
,则存在满足条件的直线
:
和
:
.
试题解析:
(1)设 的坐标为
,
的坐标为
则由中点坐标公式,得 ∴
将代入
,得
即 的轨迹方程为
.
(2)设,
由题意,知 ,显然
,
的斜率均存在,∴
∴,即
当直线的斜率不存在时,可得直线
的方程为
,
则 ,
,满足
,
∴直线 :
,满足条件.
当直线 的斜率存在时,可设直线
的方程为
,代入
得 ,则
,
由,得
,即
,
∴ ,解得
,∴直线
的方程为
.
综上可知,存在满足条件的直线 :
和
:
.
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