题目内容
(本小题满分14分)设,椭圆方程为,抛物线方程为.如图6所示,过点作轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为,已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点.
(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程;
(2)设分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).
(1) 椭圆和抛物线的方程分别为和;(2) 抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
解析:
(1)由得,
当得,G点的坐标为,
,,
过点G的切线方程为即,
令得,点的坐标为,由椭圆方程得点的坐标为,
即,即椭圆和抛物线的方程分别为和;
(2)过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个,
同理 以为直角的只有一个。
若以为直角,设点坐标为,
、两点的坐标分别为和,
。
关于的二次方程有一大于零的解,
有两解,即以为直角的有两个,
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
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