Question

【题目】（1）已知直线l过点，它的一个方向向量为．

①求直线l的方程；

②一组直线，，，，，都与直线l平行，它们到直线l的距离依次为d，，，，，（），且直线恰好经过原点，试用n表示d的关系式，并求出直线的方程（用n、i表示）；

（2）在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多条直线，，，，的直线簇，使它同时满足以下三个条件：①点；②，其中是直线的斜率，和分别为直线在x轴和y轴上的截距；③.

Answer 1

【答案】（1）①；②，；（2）不存在.

【解析】

（1）根据直线的方向向量可得直线的斜率,结合点斜式即可求得直线方程;根据直线平行且过原点,可得直线的方程,由平行线间距离公式可得n与d的关系式,设出直线的方程,根据点到直线距离公式可求得直线方程.

（2）假设存在这样的直线簇.先求得,的表达式,进而表示出.通过迭加法求得,即可证明当时,与不能成立.

（1）①直线l方向向量为

所以直线的斜率为

直线l过点,由点斜式方程可得

即直线l的方程为：；

②直线且经过原点,

直线的方程为：

由题意知直线到l的距离为,根据平行线间距离公式可得

则

设直线的方程为：

由题意知：直线到直线l的距离为,

所以直线的方程为：；

（2）假设存在满足题意的直线簇．由①知的方程为：,,

分别令,得,,

由,即,,

迭加得．

由③知所有的同号,仅讨论的情形,

由,

所以

显然,当时,与矛盾！

故满足题意的直线簇不存在．