Question

1．已知y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）画出函数的图象并写出函数f（x）的单调区间．（不要求证明）

Answer 1

分析 （1）根据当x＜0时，f（x）=-f（-x）根据x＞0时，f（x）=x²-2x+1，得到x＜0时函数的解析式，最后综合即可得到f（x）的解析式；
（2）根据分段函数的性质，画出图象，由图象可得单调区间．

解答 解：（1）设x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）+1=x²+2x+1，
∵y=f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数
∴f（-x）=-f（x）=x²+2x+1
∴f（x）=-x²-2x-1，x＜0，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+1，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）其图象为：

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1]，（1，+∞），单调递减区间是（-1，0），（0，1]．

点评 本题主要考查了函数的解析式，以及函数的奇偶性的性质和单调性，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．