Question

11．已知函数f（x）=x²+ax．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）当a=0时，判断F（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在x∈（0，1]的单调性并用定义证明：探索函数F（x）=x²+$\frac{2}{x}$在（0，+∞）上是否有最小值，若有，请直接写出F（x）在（0，+∞）上的最小值，不需证明．
（3）当a=2时，若函数G（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x≤0}\\{\frac{2}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的函数值为k（k≠0）时有两个不同的对应自变量x₁，x₂，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a为一次项系数，从而可看出a=0时，f（x）为偶函数，而a≠0时非奇非偶函数，可举例说明；
（2）a=0时，得出F（x）=${x}^{2}+\frac{2}{x}$，根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，然后作差，提取公因式x₁-x₂，从而可以判断F（x₁），F（x₂）的大小关系，从而判断出F（x）的单调性．这样可以看出F（x）在（1，+∞）上的单调性，从而判断F（x）在（0，+∞）上是否有最小值；
（3）a=2时求出G（x），根据题意知，x≤0时，f（x）=k，即方程x²+2x-k=0有两个不同的根，可确定-1＜k＜0，从而根据韦达定理可得出x₁+x₂，x₁x₂，从而可用k表示出$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$，根据k的范围即可得出它的取值范围．

解答 解：（1）①a=0时，f（x）=x²，为偶函数；
②a≠0时，为非奇非偶函数，例如：f（1）=1+a，f（-1）=1-a，则f（-1）≠f（1），且f（-1）≠-f（1）；
（2）a=0时，F（x）=${x}^{2}+\frac{2}{x}$；
设x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，则：
$F（{x}_{1}）-F（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{2}{{x}_{1}}$$-{{x}_{2}}^{2}-\frac{2}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜2，0＜x₁x₂＜1，$\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＞2$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{2}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴F（x₁）＞F（x₂）；
∴F（x）在（0，1]上单调递减；
x=1时，F（x）在（0，+∞）上有最小值3；
（3）a=2时，$G（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x}&{x≤0}\\{\frac{2}{x}}&{x＞0}\end{array}\right.$；
根据题意知，-1＜k＜0，且f（x）=k有两个不同的负根；
即方程x²+2x-k=0有两个不同的负根x₁，x₂；
根据韦达定理：x₁+x₂=-2，x₁x₂=-k；
∴$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{2}{k}$；
∵-1＜k＜0；
∴$\frac{2}{k}＜-2$；
∴$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围为：（-∞，-2）．

点评 考查函数奇偶性的定义及判断方法，函数单调性的定义，以及根据单调性的定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，作差后一般要提取公因式x₁-x₂，是分式的要通分，韦达定理的应用，熟悉二次函数的图象，反比例函数的图象．