题目内容
【题目】已知函数
.
(1)讨论在上的单调性；
(2)是否存在实数
，使得
在
上的最大值为
，若存在，求满足条件的
的个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当
时， 
在
上递增；当
或
时， 
在
上递减；当
且
时， 
在
上递增；在
上递减. （2）
的个数为1.
【解析】试题分析：（1）先求导数，根据定义域研究导函数符号变化规律：当
时，恒为正；当
时，恒为负；当
且
时，有零点，先增后减（2）由单调性知当
且
时，有最值，且为
，再化简方程得
，最后利用导数研究函数
单调性，并确定解得情况
试题解析：（1）
当
时， 
在
上递增.
当
时即
或
时， 
， 
在
上递减.
当
且
时，令
得
.
令
得
；令
得
.
在
上递增，在
上递减.
综上，当
时， 
在
上递增；当
或
时， 
在
上递减；
当
且
时， 
在
上递增；在
上递减.
（2）易知
， 
在
上递减，在
上递减， 
.
，即
，
设
，易知
为增函数，且
， 
，
的唯一零点在
上， 
存在
，且
的个数为1.
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