Question

14．如图，抛物线C₁：x²=2py（p＞0）与椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个交点为T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），F（1，0）为椭圆C₂的右焦点．
（1）求抛物线C₁与椭圆C₂的方程；
（2）设A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），过A作直线l交抛物线C₁于M、N两点（M点在N点的左侧），l₁、l₂分别是过M、N且与抛物线C₁相切的直线，直线l₁，l₂交于点B，直线l₁与椭圆C₂交于P、Q两点．
（Ⅰ）求证：B点在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
（Ⅱ）设E（0，$\frac{2}{3}$），求△EPQ的面积的最大值．并求出此时B点的坐标．

Answer 1

分析 （1）将T的坐标代入抛物线方程，运用椭圆的定义，即可求得参数p，a，b，进而得到它们的方程；
（2）（Ⅰ）求出函数y=$\frac{3}{16}$x²的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线方程，由A的坐标可得MN的方程，再由两点确定直线，即可得到B所在直线；
（Ⅱ）设l₁：y=kx+b，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式和点到直线的距离公式，求得△EPQ的面积，再结合直线和抛物线相切，运用判别式为0，可得k²=-$\frac{3}{4}$b，将募集转化为b的式子，配方运用二次函数的最值，可得面积的最大值，再联立直线l₁和B所在直线，可得B的坐标．

解答 解：（1）T（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）在抛物线上，即有$\frac{16}{9}$=2p•$\frac{1}{3}$，
解得p=$\frac{8}{3}$，则C₁：x²=$\frac{16}{3}$y；
由F（1，0），F'（-1，0）为椭圆C₂的焦点，T在椭圆上，
则有|TF|+|TF'|=2a=$\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}$+$\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{9}}$=2$\sqrt{2}$，
即a=$\sqrt{2}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）（Ⅰ）证明：由y=$\frac{3}{16}$x²的导数为y′=$\frac{3}{8}$x，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），B（x₀，y₀），
则l₁：y-y₁=$\frac{3}{8}$x₁（x-x₁），即3xx₁-8y-3x₁²+8y₁=0，
代入x₁²=$\frac{16}{3}$y₁，
即有3xx₁-8y-8y₁=0，同理可得l₂：3xx₂-8y-8y₂=0，
l₁和l₂交于B，即有3xx₀-8y₀-8y=0过M，N，
又MN过A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），则有3x₀$•\frac{1}{2}$-8y₀-8×$\frac{3}{2}$=0，
即为3x₀-16y₀-24=0，B在直线3x-16y-24=0上；
（Ⅱ）设l₁：y=kx+b，代入椭圆x²+2y²=2，得：
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则△=16k²b²-8（1+2k²）（b²-1）＞0，即有b²-2k²＜1，①
x₃+x₄=-$\frac{4kb}{1+2{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{2{b}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
则|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{3}+{x}_{4}）^{2}-4{x}_{3}{x}_{4}}$=2$\sqrt{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{1+2{k}^{2}-{b}^{2}}$•$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，
又E（0，$\frac{2}{3}$）到l₁的距离为d=$\frac{|b-\frac{2}{3}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
即有△EPQ的面积S=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=$\sqrt{2}$|b-$\frac{2}{3}$|•$\sqrt{1+2{k}^{2}-{b}^{2}}$•$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$，②
由l₁：y=kx+b与抛物线x²=$\frac{16}{3}$y相切，得：3x²-16kx-16b=0，
∴△=16²k²+12×16b=0，
∴k²=-$\frac{3}{4}$b，代入①得：-1＜b＜0．
代入②得：S=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{1-\frac{3}{2}b-{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$•$\sqrt{-（b+\frac{3}{4}）^{2}+\frac{7}{16}}$，
当b=-$\frac{3}{4}$时，S取得最大值，且为$\frac{\sqrt{14}}{6}$．
此时k=-$\frac{3}{4}$，则有l₁：y=-$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{4}$，
联立直线3x-16y-24=0，解得B（$\frac{4}{5}$，-$\frac{27}{20}$）．
则有△EPQ的面积的最大值为$\frac{\sqrt{14}}{6}$，此时B点的坐标为（$\frac{4}{5}$，-$\frac{27}{20}$）．

点评 本题考查抛物线和椭圆的定义、方程和性质，主要考查直线和抛物线、直线和椭圆的位置关系，注意运用导数和韦达定理、弦长公式，同时考查点到直线的距离公式，二次函数的最值运用，是一道综合题．