Question

17．已知F是抛物线y²=8x的焦点，一条倾斜角为$\frac{π}{4}$的弦AB长为8$\sqrt{5}$（如图），求△FAB的面积和sin∠AFB的值．

Answer 1

分析 设AB方程为y=x+b，与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理和弦长公式列出方程求出b，由点到直线的距离公式求出△FAB底边AB上的高，再求△FAB的面积，子啊求出点A、B的横坐标，利用抛物线的定义求出|AF|、|BF|，利用△FAB的面积求出sin∠AFB的值．

解答 解：由题意设AB方程为y=x+b，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$消去y得，x²+（2b-8）x+b²=0，
所以x₁+x₂=8-2b，x₁•x₂=b²，
则|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（8-2b）^{2}-4{b}^{2}]}$=8$\sqrt{5}$，
解得b=-3，
所以直线方程为y=x-3，即x-y-3=0，
则焦点F（2，0）到x-y-3=0的距离为d=$\frac{|2-0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以△FAB的面积S=$\frac{1}{2}×8\sqrt{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$2\sqrt{10}$，
把b=-3代入x²+（2b-8）x+b²=0得，x²-14x+9=0，
解得，x₁=$7+2\sqrt{10}$，x₂=$7-2\sqrt{10}$，
由抛物线的定义得，|AF|=$7+2\sqrt{10}$+2=$9+2\sqrt{10}$，|BF|=$9-2\sqrt{10}$，
所以S=$\frac{1}{2}×|AF|×|BF|×sin∠AFB$=$2\sqrt{10}$，
则$\frac{1}{2}×（9+2\sqrt{10}）×（9-2\sqrt{10}）sin∠AFB=2\sqrt{10}$，
解得sin∠AFB=$\frac{4\sqrt{10}}{41}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理和弦长公式，抛物线的定义，点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式的灵活应用，属于中档题．