题目内容
已知数列{an}满足：a1＝
，an＋1＝
(n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)证明：不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*都成立．
（1）a2＝
，a3＝
（2）见解析
【解析】(1)由题意，得a2＝，a3＝.
(2)①当n＝1时，由(1)知0＜a1＜a2，不等式成立．
②设当n＝k(k∈N*)时，0＜ak＜ak＋1成立，则当n＝k＋1时，由归纳假设，知ak＋1＞0.
而ak＋2－ak＋1＝ 
＝
＝
＞0，
所以0＜ak＋1＜ak＋2，
即当n＝k＋1时，不等式成立．
由①②，得不等式0＜an＜an＋1对于任意n∈N*成立．
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