题目内容

在△ABC中,已知tanA=
1
2
,tanB=
1
3
且最长边为
5

(Ⅰ)求∠C的值;
(Ⅱ)求△ABC最短边的长.
(Ⅰ)∵tanA=
1
2
,tanB=
1
3

∴tanC=-tan(A+B)=-
1
2
+
1
3
1-
1
2
×
1
3
=-1,
又∵0<C<π,∴C=
4

(Ⅱ)易知最短边为AC,∵tanB=
1
3
,∠B为三角形内角,
∴cosB=
1
tan2B+1
=
3
10
10
,sinB=
1-cos2B
=
10
10

由正弦定理
AC
sinB
=
AB
sinC
,即
AC
10
10
=
5
2
2

∴AC=1.
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